Solution de l'exercice

Données :

• Caractéristiques mécaniques du moteur (Ω en tr/min, T_m en Nm) :

Ω (tr/min)	1350	1375	1400	1425	1450	1475
Tm (Nm)	337.23	311.22	285.21	259.20	233.19	207.18

• Caractéristique mécanique de la charge : T_ch = 1.2 × 10^-4 × Ω²

1. Déterminer le nombre de paires de pôles pour le moteur électrique :

La fréquence f = 50 Hz. La vitesse synchrone Ω_s est donnée par :

Ω_s = (60 × f) / p (tr/min)

où p est le nombre de paires de pôles.

Sachant que la vitesse du moteur est légèrement inférieure à la vitesse synchrone (glissement s), nous pouvons estimer Ω_s ≈ 1500 tr/min.

p = (60 × f) / Ω_s = (60 × 50) / 1500 = 2

Le moteur a donc 2 paires de pôles.

2. Déterminer la relation linéaire T_m = f(Ω) = A × Ω + B :

On considère que T_m est linéaire dans la zone de travail. En utilisant deux points du tableau :

• Point 1 : (Ω₁ = 1350, T_m1 = 337.23)
• Point 2 : (Ω₂ = 1475, T_m2 = 207.18)

La pente A est donnée par :

A = (T_m2 - T_m1) / (Ω₂ - Ω₁) = (207.18 - 337.23) / (1475 - 1350) = -1.0404 Nm/tr/min

L'ordonnée à l'origine B :

B = T_m1 - A × Ω₁ = 337.23 - (-1.0404 × 1350) = 1741.77 Nm

La relation linéaire est donc :

T_m = -1.0404 × Ω + 1741.77

3. Déterminer les paramètres à l'équilibre T_ch(Ω₂) = T_m(Ω₂) :

a. Vitesse Ω₂ :

À l'équilibre, T_ch = T_m.

T_ch = 1.2 × 10^-4 × Ω²

T_m = -1.0404 × Ω + 1741.77

Équation d'équilibre :

1.2 × 10^-4 × Ω² + 1.0404 × Ω - 1741.77 = 0

On résout cette équation quadratique pour Ω :

Ω₂ ≈ 1410 tr/min

b. Couple d'équilibre T_eq :

En remplaçant Ω₂ dans T_ch :

T_eq = 1.2 × 10^-4 × (1410)² = 238.27 Nm

c. Puissance mécanique utile P_u :

P_u = T_eq × ω

où ω = (Ω₂ × 2π) / 60

ω = (1410 × 2π) / 60 = 147.68 rad/s

P_u = 238.27 × 147.68 = 35187.2 W (soit 35.19 kW)

4. Si le moteur débite un courant de 75 A avec cos(φ) = 0.85 :

La puissance électrique absorbée est donnée par :

P_e = √3 × U × I × cos(φ)

P_e = √3 × 380 × 75 × 0.85 = 41863.4 W (soit 41.86 kW)

Le rendement η est :

η = P_u / P_e = 35187.2 / 41863.4 = 0.84 (ou 84%)

Conclusion :

• Nombre de paires de pôles : 2
• Relation linéaire : T_m = -1.0404 × Ω + 1741.77
• Vitesse d'équilibre : 1410 tr/min
• Couple d'équilibre : 238.27 Nm
• Puissance mécanique : 35.19 kW
• Rendement : 84%